20 septiembre 2014

A la caza del submarino amarillo

para muchos estudiantes de ingeniería hace unos cuantos años era un clásico un problema teórico de matemáticas en el que se trataba de cazar un submarino, ya sea amarillo o no. Un ejemplo es el siguiente enunciado, extraído de esta web.
El submarino se encuentra bajo la superficie del mar y hay dos barcos caza submarinos en la superficie que intenta localizar la posición del submarino para darles la posición del submarino a un avión amigo que intercepte al submarino y le lance unas cargas explosivas para hundirlo. En un momento determinado, los dos caza submarinos, U y V se encuentran en las posiciones (10,0,0) y (0,25,0)  respectivamente, tal y como se muestra en la figura.
Las coordenadas están expresadas en millas náuticas. La nave U localiza al submarino en dirección del vector 4i-6j-2k. Y la nave V lo localiza en dirección 10i-6j-k. Hace 4 minutos el submarino se encontraba en las coordenadas (10,-5,-10), el avión llegara a la zona en veinte minutos. El submarino se está moviendo en línea recta a velocidad constante.
¿Qué posición y dirección deben reportar las naves de la superficie al piloto del avión para que este intercepte al submarino?
El problema gráficamente se puede plantear de la siguiente manera:
Planteamiento mediante coordenadas y, z del problema: a la caza del submarino
Y se trata de descubrir un punto de intersección. Es un problema a resolver mediante ecuaciones paramétricas. Un problema sencillo. Para no aburrir, dejo a los lectores que intenten el problema y comprobar la solución en la web. Existen varias variantes de este problema, como éste.
La razón subyacente para plantear este tipo de problemas seguramente esté en la batalla del Atlántico, donde los barcos Aliados de la 2ª Guerra Mundial se afanaban por hundir los U-Boats alemanes en una de las campañas militares clave de esta época. Y aunque parezca mentira, se dedicaron muchos esfuerzos a las matemáticas. Hay varias razones:
  • El océano es grande, ¿dónde hay más posibilidades de encontrar U-boats?
  • Los Aliados contaban con dos máquinas Enigma, y a menudo conocían la ruta de los submarinos. ¿Cómo interceptarlos?
  • Trayectorias de torpedos y cómo escapar de ellos.
He encontrado en Internet un tipo de problemas denominados chasing-escaping problems que consisten en enunciados de trayectorias de misiles, maniobras en el mar para acorralar a un objetivo, etc. Un libro que habla de esto es Chases and Escapes: the Mathematics of pursuit and evasion.
Aunque a los alumnos les parezca aburrido, el teorema de probabilidad de Bayes tuvo una gran influencia en todo esto como sistema de búsqueda de submarinos. En el Libro The theory that would not die, se cuenta cómo el teorema de Bayes hundió a los submarinos rusos en la Guerra Fría, sirvió para resolver el código Enigma de los alemanes y muchas otras ideas.
No sólo Bayes, sino que hay muchas más ramas de las matemáticas que permitieron planear una estrategia en un combate, tal y como se recoge en la recomendable obra Differential Games: A Mathematical Theory with Applications to Warfare and Pursuit, Control and Optimization.

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